如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；（3）在（2）的条件下，求VA1−BDE．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）在（2）的条件下，求VA1− BDE．

Answer 1

证明：（1）连AC，A₁C₁．∵正方体AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A．∴BD⊥平面ACC₁A₁ 且E∈CC₁．∴A₁E⊂平面ACC₁A₁．∴BD⊥A₁E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO．
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∴∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角．
∵AB=a，E为CC₁中点，∴A₁O=(√(6))/(2)a，EO=(√(3))/(2)a，A₁E=(3)/(2)a．
∴A₁O²+OE²=A₁E²．∴A₁O⊥OE．∴∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面BDE．
（3）由（2）得A₁O⊥平面BDE 且A₁O=(√(6))/(2)a，
又S△BDE＝(√(6))/(4)a2，
∴V=(1)/(3)Sh＝(1)/(4)a3﹒