如图，矩形ABCD所在平面与直角梯形CDEF所在平面互相垂直，其中∠EDC=∠DEF=π2，EF=ED=12CD=1，AD=2．（1）若M为AE的中点，求证：EC∥平面BDM；（2）求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．

Question

如图，矩形ABCD所在平面与直角梯形CDEF所在平面互相垂直，其中∠EDC=∠DEF=(π)/(2)，EF=ED=(1)/(2)CD=1，AD=√(2)．

（1）若M为AE的中点，求证：EC∥平面BDM；
（2）求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．

Answer 1

（1）证明连接：设AC交BD于P，连接PM．
三角形ACE中，M为AE中点，P为AC中点，
∴CE∥PM．
∵PM⊂平面BDM中，CM⊄平面BDM中，
∴CE∥平面BDM．
（2）延长CF和DE交于G，连接AG．作三角形AG边上的高DN，连接CN．
∵CD⊥AD，CD⊥DG，
∴CD⊥平面ADG，
∵AG⊂平面ADG，
故CD⊥AG．
∵DN⊥AG，
∴AG⊥平面CDN．
则CN⊥AG．
则∠CND是二面角的平面角，
∵EF=ED=(1)/(2)CD=1，AD=√(2)．
∴DG=2，AG=√(6)．
∵sin∠DGN=(DN)/(DG)=(AD)/(AG)，
∴DN=(2√(3))/(3)．
则tan∠CND=(CD)/(DN)=√(3)，
故∠CND=60°．
即平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小60°．