如图在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB1和BD上的点，且AM=BN=t（0＜t＜2）（1）求|MN|的最小值（2）当|MN|达到最小值时，MN与AB1，BD是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是

Question

如图在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段AB₁和BD上的点，且AM=BN=t（0＜t＜√(2)）
（1）求|MN|的最小值
（2）当|MN|达到最小值时，

MN

与

AB

₁，

BD

是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是都垂直说明理由．

Answer 1

（1）作ME⊥AB于E，连EN．
∵AM=BN=t，
∴ME＝AE＝(√(2))/(2)t，BE＝1−(√(2))/(2)t，
∴在△EBN中，由余弦定理可得：EN2＝t2+(1−(√(2))/(2)t)2−2t(1−(√(2))/(2)t)•(√(2))/(2)=(5)/(2)t2−2√(2)t+1，
∴在△MEN中，由勾股定理可得MN2＝3t2−2√(2)t+1．
∴当