如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m-1）（1）求线段AB的长；（2）若已知m=3，x轴上是否存在一点P，使得PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果M为x轴上

Question

如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m-1）

（1）求线段AB的长；
（2）若已知m=3，x轴上是否存在一点P，使得PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1），
∴AB=√([(m+3)-m]2+[(m-1)-(m+1)]2)
=√(9+4)
=√(13)，
（2）如图1，

∵m=3，
∴A（3，4），B（6，5），
作出点A关于x轴的对称点A'（3，-4），
∴设直线A'B的解析式为y=kx+b，
∴

3k+b=-4

6k+b=5

，
∴

k=3

b=-13

∴直线A'B的解析式为y=3x-13，
令y=0，则3x-13=0，
∴x=(13)/(3)，
∴P（(13)/(3)，0）；
（3）如图2，

∵M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴AB不可能是平行四边形的对角线，只能是平行四边形的一边，
∵A（m，m+1），B（m+3，m-1）
①点B平移到x轴上，
∴将线段AB向下平移（m-1）个单位，点B落在x轴上，
∴平移后点A的对应点C（m．（m+1）-（m-1）），即：C（m，2），
平移后点B的对应点D（m+3，0）
∵点N在y轴上，
∴N（0，2），
再将线段CD向左平移m单位，点C落在y轴上，
∴M（（m+3）-m，0），即：M（3，0），
∴直线MN的解析式为y=-(2)/(3)x+2．
②点A平移到x轴上，
如图3，

同①的方法得出直线MN的解析式为y=-(2)/(3)x-2．
即：直线MN的解析式为y=-(2)/(3)x+2或y=-(2)/(3)x-2．