一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分,用黑色刻度线分成n等分,m>n,设x是红与黑重合的条数说明x+1是m和n的公约数如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n

Question

一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分,用黑色刻度线分成n等分,m>n,设x是红与黑重合的条数
说明x+1是m和n的公约数
如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n的值

Answer 1

1)重合的红黑刻度线将L分成X+1份.任何两条重合的红黑刻度线之间的木棍长度是相等的.木棍的始端和末端也可认为是红黑刻度线重合点,只是没标出来,故这X+1份都是等长的.
设有A份L/m,B份L/n在在1份重合的红黑刻度线之间.则A,B必互质,否则在1份重合的红黑刻度线之间又将有重合的刻度线,矛盾.
由（X+1）*A*L/m=（X+1）*B*L/n=L
解得m=（X+1）A,n=（X+1）B
(X+1)是m,n的公约数,并且是m,n的最大公约数gcd(m,n)
2) 有m-1条红线,n-1条黑线,有x条红黑重合刻度线.故共有m+n-x-2条着色刻度线.将木棍分成m+n-x-1段.即
m+n-x-1=170 (1)
由于m>n,先沿红刻线将木棍锯成m段.再将含有不与红色刻度线重合的黑色刻度线的木段沿黑色刻度线锯开.共有n-1-x个木段又被锯断,所以未被锯断的是最长段,共有m-(n-1-x)段,故
m-(n-1-x)=100 (2)
(1)(2)联立,得
m=135,n-x-1=35
又x+1=gcd(m,n)=gcd(135,n),n