设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2．求数列{an}的通项公式．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

由S₂=4a₁+2有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=5，
故a₂-2a₁=3，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因此数列{a_n+1-2a_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
所以a_n+1-2a_n=3×2^n-1，于是(an+1)/(2n+1)−(an)/(2n)＝(3)/(4)，
因此数列{(an)/(2n)}是首项为(1)/(2)，公差为(3)/(4)的等差数列，
(an)/(2n)＝(1)/(2)+(n−1)×(3)/(4)＝(3)/(4)n−(1)/(4)，
所以an＝(3n−1)•2n−2．