试用两种方法证明：（1）C0n+C1n+…+Cnn＝2n(n∈N*)；（2）C1n+2C2n+…+nCnn＝n2n−1(n∈N*且n≥2)．

Question

试用两种方法证明：
（1）

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＝2n(n∈N*)；
（2）

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

＝n2n−1(n∈N*且n≥2)．

Answer 1

（1）证明：方法1：由(1+x)n＝1+

C

1 n

x+…+

C

n n

xn(n∈N*)
令x=1，得

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＝2n(n∈N*)．…（3分）
方法2：数学归纳法：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，

C

0 k

+

C

1 k

+…+

C

k k

＝2k(k∈N*)，
则当n=k+1时，由

C

0 k+1

＝C

0 k

，

C

r k+1

=

C

r−1 k

+

C

r k

，

C

k+1 k+1

=

C

k k

，
所以，

C

0 k+1

+

C

1 k+1

+

C

2 k+1

+…+

C

k+1 k+1

=

C

0 k

+（

C

0 k

+C

1 k

）+（

C

1 k

+C

2 k

）+…+（

C

k−1 k

+C

k k

）+

C

k k

=2（

C

0 k

+C

1 k

+…+

C

k−1 k

+C

k k

=2•2^k=2^k+1，
由①②，等式对于任意n∈N^*恒成立．…（7分）
（2）方法1：由于k

C

k n

=k(n!)/(k!(n−k)!)=(n!)/((n−k)!(k−1)!)，n

C

k−1 n−1

=n((n−1)!)/((n−k)!(k−1)!)=(n!)/((n−k)!(k−1)!)，
∴k

C

k n

=n

C

k−1 n−1

，…（9分）
所以，

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n

C

0 n−1

+n

C

1 n−1

+…+n

C

n−1 n−1

=n（

C

0 n−1

+

C

1 n−1

+…+

C

n−1 n−1

 ）=n2^n-1．…（11分）
方法2：由 （1+x）ⁿ=1+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ （n≥2，且 n∈N^*），
两边求导，得 n（1+x）^n-1=1+2

C

2 n

x+3

C

3 n

•x²+…+n

C

n n

x^n-1，…（14分）
令x=1，得

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

＝n2n−1(n∈N*且n≥2)．…（15分）