已知A,B,C是椭圆N：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为（2√3,0）,BC过椭圆N的中心,且AC垂直BC,BC=2AC.求,过点M（0,t)的直线l（斜率存在时）与椭圆N交与两点p,q,设D为椭圆N与y轴负半轴的

Question

已知A,B,C是椭圆N：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为（2√3,0）,BC过椭圆N的中心,且AC垂直BC,BC=2AC.
求,过点M（0,t)的直线l（斜率存在时）与椭圆N交与两点p,q,设D为椭圆N与y轴负半轴的交点,且DP=DQ,求实数t的取值范围.
求最简单的方法
忘说了,A是右端点.

Answer 1

【1】
椭圆方程为
(x²/12)+(y²/4)=1.
【2】
可设直线L：y=kx+t.
与椭圆方程联立,整理可得
(1+3k²)x²+6ktx+3(t²-4)=0.
判别式⊿=12(12k²-t²+4)＞
∴12k²+4＞t²
【3】
可设两点P(x1,t+kx1).Q(x2,t+kx2)
∴由题设及伟达定理可得:
x1+x2=-6kt/(1+3k²),x1x2=3(t²-4)/(1+3k²)
设弦PQ的中点M(x,y)
由中点坐标公式可得
x=-3kt/(1+3k²),y=t/(1+3k²)
又点D(0,-2).
∴直线DM的斜率为-（2+t+6k²)/(3kt).
再由题设可知,PQ⊥DM
∴(2+t+6k²)k=3kt
当k=0时,可知-2＜t＜2
当k≠0时,可知1+3k²=t.
与12k²+4＞t²结合,可得
4t＞t²
∴0＜t＜4
∴综上可知
-2＜t＜4