已知数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)+1,则a1(C0n)+a2(C1n)+~+an+1(Cnn)=?(Cmn是指排列组合）答案是2^n+3^n,请问为什么?

Question

已知数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)+1,则a1(C0n)+a2(C1n)+~+an+1(Cnn)=?
(Cmn是指排列组合）答案是2^n+3^n,请问为什么?

Answer 1

an=2^(n-1)+1,
a1(C0n)+a2(C1n)+~~~~~~+an+1(Cnn)
=(2^0+1) (C0n)+( 2^1+1) (C1n)+ ( 2^2+1) (C2n)+……+ ( 2^n+1) (Cnn)
=( (C0n) +2^1(C1n)+ 2^2(C2n)+……+ 2^n (Cnn))
+( C0n+ C1n+ C2n+……+ Cnn)
二项式定理：
(a+b)n=cn0a^n+cn1a^n-1b+…+cnra^n-rb^r+…+cnnb^n,其中r=0,1,2,……,n,n∈N.
令a=b=1得；2^n= C0n+ C1n+ C2n+……+ Cnn.
令a=1,b=2得；3^n=(C0n) +2^1(C1n)+ 2^2(C2n)+……+ 2^n( Cnn).
∴a1(C0n)+a2(C1n)+~~~~~~+an+1(Cnn)= 3^n+2^n.