如图，椭圆C0：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2＝t21，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ

Question

如图，椭圆C₀：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2＝

t

2 1

，b＜t₁＜a．点A₁，A₂分别为C₀的左，右顶点，C₁与C₀相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆C2：x2+y2＝

t

2 2

与C₀相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：

t

2 1

+

t

2 2

为定值．

Answer 1

（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₂=x₁，y₂=-y₁，
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），则直线A₁A的方程为y=(y1)/(x1+a)（x+a）①
直线A₂B的方程为y=(−y1)/(x1−a)（x-a）②
由①×②可得：y²=(−y12)/(x12−a2)（x²-a²）③
∵A（x₁，y₁）在椭圆C₀上，
∴(x12)/(a2)+(y12)/(b2)＝1
∴y₁²=b²（1-(x12)/(a2)）
代入③可得：y²=(−b2(1−(x12)/(a2)))/(x12−a2)（x²-a²）
∴(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（x＜-a，y＜0）；
（II）证明：设A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴x₁²y₁²=x₃²y₃²
∵A，A′均在椭圆上，
∴b²x₁²（1-(x12)/(a2)）=b²x₃²（1-(x32)/(a2)）
∴x₁²-(x14)/(a2)=x₃²-(x34)/(a2)
∴a²（x₁²-x₃²）=x₁⁴-x₃⁴
∵t₁≠t₂，∴x₁≠x₃．
∴x₁²+x₃²=a²
∵y₁²=b²（1-(x12)/(a2)），y₃²=b²（1-(x32)/(a2)）
∴y₁²+y₃²=b²
∴

t

2 1

+

t

2 2

=a²+b²为定值．