两个圆C1：x2+y2+2ax+a2−4＝0，(a∈R)与C2：x2+y2−2by−1+b2＝0，(b∈R)恰有三条公切线，则a+b的最小值为（）A．-6B．-3C．−32D．3

Question

两个圆C1：x2+y2+2ax+a2−4＝0，(a∈R)与C2：x2+y2−2by−1+b2＝0，(b∈R)恰有三条公切线，则a+b的最小值为（　　）

A．-6
B．-3
C．−3√(2)
D．3

Answer 1

由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为
（x+a）²+y²=4，x²+（y-b）²=1，
圆心分别为（-a，0），（0，b），半径分别为2和1，
故有 √(a2+b2)=3，∴a²+b²=9，
故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．
令a+b=t，利用线性规划求出t的最小值．
如图：可行域为圆a²+b²=9，t=a+b为目标函数，
点A（-(3√(2))/(2)，-(3√(2))/(2)）和点B（(3√(2))/(2)，(3√(2))/(2)）为最优解，
故A（-(3√(2))/(2)，-(3√(2))/(2)）使a+b=t 取得最小值为-3√(2)，
故选：C．