求解方程和数列设两个方程x2－ax＋1＝0,x2－bx＋1＝0的四个根组成以2为公比的等比数列,求ab的值．

Question

求解方程和数列
设两个方程x2－ax＋1＝0,x2－bx＋1＝0的四个根组成以2为公比的等比数列,求ab的值．

Answer 1

设以2为公比,成等比数列的四个根依次为t,2t,4t,8t(t≠0)．
∵两方程x²－ax＋1＝0,x²－bx＋1＝0的常数项同为1,
∴只有t•8t＝12t•4t＝1时才有解,此时t²＝18,
∴t,8t是其中一个方程的两根,2t,4t是另一方程的两根,不妨设t,8t是x2－ax＋1＝0的两根,2t,4t是x2－bx＋1＝0的两根,
则t＋8t＝a2t＋4t＝b即a＝9tb＝6t,
∴ab＝54t²＝274.
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