已知等差数列{an}和公比为q（q≠1）的正项等比数列{bn}满足a1=b1=a，a3=b3，a7=b5，（1）求等比数列{bn}的公比q；（2）记Mn=a1+a2+…+an，Nn=b1+b2+…+bn，试比较M5与N5的大小．（3）若a=1，设数列cn=a2n+1

Question

已知等差数列{a_n}和公比为q（q≠1）的正项等比数列{b_n}满足a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，
（1）求等比数列{b_n}的公比q；
（2）记M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，试比较M₅与N₅的大小．
（3）若a=1，设数列c_n=a_2n+1•b_2n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）因为a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，
所以，a₁+2d=b₁q²=aq²
a₁+6d=b₁q⁴=aq⁴，
变形得：a（1-q²）=-2d ①
a（1-q⁴）=-6d ②
②÷①得，1+q²=3
正项等比数列{b_n}，
所以q²=2，
即，q=√(2)．
（2）由（1）可知d=(a)/(2)，
M₅=(5×(a+a+4d))/(2)=10a；
N₅=(a(1−(√(2))5))/(1−√(2))=(a((√(2))5−1))/(√(2)−1)=(a(2√(2)−1))/(√(2)−1)，

作业帮用户 2017-09-23