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已知数列{an}a1=1的等比数列且an>0,{bn}首相为1的等差数列,又a5+b3=21,a3+b5=13(1)求an}{bn}的通项(2)求求{bn/2an}的前n项和sn
题目详情
已知数列{an}a1=1的等比数列且an>0,{bn}首相为1的等差数列,又a5+b3=21,a3+b5=13(1)求an}{bn}的通项(2)求
求{bn/2an}的前n项和sn
求{bn/2an}的前n项和sn
▼优质解答
答案和解析
(1)等比数列{an}中 a3=q^2,a5=q^4
等差数列{bn}中 b3=1+2d, b5=1+4d
所以q^4+1+2d=21 ①
q^2+1+4d=13 ②
联立①②,又因为an>0,a1=1,所以q>0
所以解得q=2,d=2
所以an=2ˆ(n-1)
bn=2n-1
(2)
由(1)知bn/2an=(2n-1)/2ˆn
所以Sn=1/2+3/2ˆ2+5/2ˆ3+...+(2n-3)/2ˆ(n-1)+(2n-1)/2ˆn ①
所以1/2Sn=1/2ˆ2+3/2ˆ3+...+(2n-3)/2ˆn+(2n-1)/2ˆ(n+1) ②
①-②得1/2Sn=1/2+2/2ˆ2+2/2ˆ3+...+2/2ˆn+(2n-1)/2ˆ(n+1)
最后Sn=3-(2n+3)/2ˆn
(错位相减法)
等差数列{bn}中 b3=1+2d, b5=1+4d
所以q^4+1+2d=21 ①
q^2+1+4d=13 ②
联立①②,又因为an>0,a1=1,所以q>0
所以解得q=2,d=2
所以an=2ˆ(n-1)
bn=2n-1
(2)
由(1)知bn/2an=(2n-1)/2ˆn
所以Sn=1/2+3/2ˆ2+5/2ˆ3+...+(2n-3)/2ˆ(n-1)+(2n-1)/2ˆn ①
所以1/2Sn=1/2ˆ2+3/2ˆ3+...+(2n-3)/2ˆn+(2n-1)/2ˆ(n+1) ②
①-②得1/2Sn=1/2+2/2ˆ2+2/2ˆ3+...+2/2ˆn+(2n-1)/2ˆ(n+1)
最后Sn=3-(2n+3)/2ˆn
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