已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足2Sn=3an-3（n∈N+），等差数列{bn}的前n项和为Tn，且b5+b13=34，T3=9．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}的通项公式为cn=anbn，问是否存在互不相

Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足2S_n=3a_n-3（n∈N₊），等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₅+b₁₃=34，T₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的通项公式为c_n=a_nb_n，问是否存在互不相等的正整数m，k，r使得m，k，r成等差数列，且c_m，c_k，c_r成等比数列？若存在，求出m，k，r；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由2S_n=3a_n-3（n∈N₊）令n=1可知a₁=3，
当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，两式相减得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n．                    
设等差数列{b_n}的公差为d，依题意得，

2b1+16d=34

3b1+3d=9

，解得

b1=1

d=2

，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）由（1）可知cn=anbn=(2n-1)3n，
假设存在互不相等的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且c_m，c_k，c_r成等比数列．则ck2=cmcr，
即（2k-1）²•3^2k=（2m-1）（2r-1）•3^m+r．（*），
由m，k，r成等差数列，得2k=m+r，所以3^2k=3^m+r．
所以由（*）得（2k-1）²=（2m-1）（2r-1）．即4k²-4k+1=4mr-2（m+r）+1，
又2k=m+r，所以k²=mr，即((m+r)/(2))2=mr，即（m-r）²=0即m=r．这与m≠r矛盾，
所以，不存在满足条件的正整数m，k，r，使得m，k，r成等差数列，且c_m，c_k，c_r成等比数列．