设一个数为m,一个数为n.若mn互质,则以m为长,n为宽的矩形对角线所穿过的正方形个数f满足：f=m+n-1.问：

Question

设一个数为m,一个数为n.若mn互质,则以m为长,n为宽的矩形对角线所穿过的正方形个数f满足：f=m+n-1.问：

Answer 1

∵mn互质,∴对角线不会经过格点.设矩形m行、n列.对角线与这些方格的边有
﹙m-1﹚+﹙n-1﹚个交点,﹙横线m-1条,竖线n-1条﹚.添上头尾两个点,对角线上有m+n个
“界点”,相邻两个“界点”之间的线段属于一个被穿过的正方形,m+n个“界点”分对角线为m+n-1段,每一段属于一个被穿过的正方形,共有m+n-1个正方形被穿过.证毕.