二项式系数各项系数（5x-√x）^n的展开时的各项系数和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x^3的系数为150令x=1,代入（5x-√x）^n得M=（5*1-√1）^n=4^nN=2^n4^n-2^n=240n=4在（5x-√x

Question

二项式系数 各项系数
（5x-√x）^n的展开时的各项系数和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x^3的系数为150
令x=1,代入（5x-√x）^n
得M=（5*1-√1）^n = 4^n
N= 2^n
4^n - 2^n = 240
n= 4
在（5x-√x）^4中,x^3 = x^2*(√x)^2 项是
C(4,2)[(5x)^2][(-√x)^2]
= 6*25*x^3
= 150 x^3
所以,展开式中x^3的系数为150 .
为什么N是2^n

Answer 1

二次项系数是指C(n,i)之和（i=0,1,2,3.n）,令二项式为（1+1）^n,展开后每项为C（n,i）1^i*1^(n-i),即C（n,i）,和为2^n.
各项系数：例如：C(4,2)[(5x)^2][(-√x)^2] =C（4,2）*25x^3
系数为C（4,2）*25
注意概念!