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证明不等式:已知a,b∈R+且a≠b证明:a7+b7>a4b3+a3b4
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证明不等式:已知a,b∈R+且a≠b证明:a7+b7>a4b3+a3b4
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答案和解析
a^7+b^7-a^4b^3-a^3b^4
=a^7-a^4b^3+b^7-a^3b^4
=a^4(a^3-b^3)+b^4(b^3-a^3)
=(a^3-b^3)(a^4-b^4)
=(a-b)(a²+ab+b²)(a²+b²)(a²-b²)
=(a-b)²(a+b)(a²+ab+b²)(a²+b²)>0
所以a^7+b^7>a^4b^3+a^3b^4
=a^7-a^4b^3+b^7-a^3b^4
=a^4(a^3-b^3)+b^4(b^3-a^3)
=(a^3-b^3)(a^4-b^4)
=(a-b)(a²+ab+b²)(a²+b²)(a²-b²)
=(a-b)²(a+b)(a²+ab+b²)(a²+b²)>0
所以a^7+b^7>a^4b^3+a^3b^4
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