在各项均为正数的数列{an}中a1=三分之一且an+1-an+4an+1an=0通项公式前n项和在各项均为正数的数列{an}中,a1=三分之一,且a(n+1)-an+4a(n+1)an=0(1)求数列{an}通项公式(2)求数列{2^(n-1)/an}d前n项和Tn

Question

在各项均为正数的数列{an}中a1=三分之一且an+1-an+4an+1an=0通项公式前n项和
在各项均为正数的数列{an}中,a1=三分之一,且a(n+1)-an+4a(n+1)an=0
(1)求数列{an}通项公式
(2)求数列{2^(n-1)/an}d 前n项和Tn

Answer 1

（1）
条件式两边同时除以a(n+1)an,得1/an-1/（an+1）+4=0.
整理得1/a(n+1）=1/an+4,1/a1=3.
∴1/an是首项为1/a1=3,公差d=4的等差数列.
1/an=3+4（n-1）=4n-1,则an=1/（4n-1）.
综上,数列an的通项公式为an=1/（4n-1）.
（2）
2^（n-1）/an=2^（n-1）×（4n-1）=n×2^（n+1）-2^（n-1）.
令n×2^（n+1）的前n项和为An,2^（n-1）的前n项和为Bn,则Tn=An-Bn.
An=2^2+2×2^3+3×2^4+...+n×2^（n+1）
2An=2^3+2×2^4+.+n×2^（n+2）
相减,得-An=2^2+2^3+2^4+.+2^（n+1）-n×2^（n+2）
=（1-n）×2^（n+2）-4
∴An=（n-1）×2^（n+2）+4
利用等比数列求和公式得Bn=2^n-1.
∴Tn=An-Bn=（4n-5）2^n+5.
综上,前n项和Tn=（4n-5）2^n+5