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在各项均为正数的数列{an}中a1=三分之一且an+1-an+4an+1an=0通项公式前n项和在各项均为正数的数列{an}中,a1=三分之一,且a(n+1)-an+4a(n+1)an=0(1)求数列{an}通项公式(2)求数列{2^(n-1)/an}d前n项和Tn

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在各项均为正数的数列{an}中a1=三分之一且an+1-an+4an+1an=0通项公式前n项和
在各项均为正数的数列{an}中,a1=三分之一,且a(n+1)-an+4a(n+1)an=0
(1)求数列{an}通项公式
(2)求数列{2^(n-1)/an}d 前n项和Tn
▼优质解答
答案和解析
(1)
条件式两边同时除以a(n+1)an,得1/an-1/(an+1)+4=0.
整理得1/a(n+1)=1/an+4,1/a1=3.
∴1/an是首项为1/a1=3,公差d=4的等差数列.
1/an=3+4(n-1)=4n-1,则an=1/(4n-1).
综上,数列an的通项公式为an=1/(4n-1).
(2)
2^(n-1)/an=2^(n-1)×(4n-1)=n×2^(n+1)-2^(n-1).
令n×2^(n+1)的前n项和为An,2^(n-1)的前n项和为Bn,则Tn=An-Bn.
An=2^2+2×2^3+3×2^4+...+n×2^(n+1)
2An=2^3+2×2^4+.+n×2^(n+2)
相减,得-An=2^2+2^3+2^4+.+2^(n+1)-n×2^(n+2)
=(1-n)×2^(n+2)-4
∴An=(n-1)×2^(n+2)+4
利用等比数列求和公式得Bn=2^n-1.
∴Tn=An-Bn=(4n-5)2^n+5.
综上,前n项和Tn=(4n-5)2^n+5