如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求三棱锥A-BDE的体积；（Ⅱ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅲ）求证：AC∥平面B1DE．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅱ）求证：B₁D₁⊥AE；
（Ⅲ）求证：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

（Ⅰ）∵EC⊥平面ABD，
∴V=(1)/(3)CE．S_ABD=(2)/(3)…4分
证明：（Ⅱ）连接A₁C₁，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，A₁C₁∩CC₁=C₁
∴B₁D₁⊥面A₁C₁CA，
AE⊂面A₁C₁CA
∴B₁D₁⊥AE…8分
（Ⅲ）证法一：连接AC₁，取AC₁的中点为H，取AC的中点O，连接HO，
∵HO∥EC且HO=EC
∴四边形HOCE为平行四边形，OC∥HE即AC∥HE---------13’
连接BD₁，易知四边形A₁BCD₁为平行四边形，则H为BD₁和A₁C的交点
∴HE⊂平面B₁DE
AC⊄平面B₁DE
AC∥平面B₁DE…12分
证法二：延长BC与B₁E延长线交于F，连DF∵E为棱CC₁中点
∴△B₁C₁E≌△FCE
∴CF=C₁B₁=CB
∴CF∥AD且CF=AD
∴ADFC为平行四边形
∴AC∥DF∵AC⊄平面B₁DE
DF⊂平面B₁DE
∴AC∥平面B₁DE…12分．