在锐角三角形中,角A,B,C所对的边是a,b,c,如b/a+a/b=6cosC.则tanC/tanA+tanC/tanB=.江苏今年的高考题目,答案是4.求简单方法.

Question

在锐角三角形中,角A,B,C所对的边是a,b,c,如b/a+a/b=6cosC.
则tanC/tanA+tanC/tanB=____.
江苏今年的高考题目,答案是4.求简单方法.

Answer 1

因为a/b+b/a=6cosC，
所以a/b+b/a=6(a²+b²-c²)/2ab
所以c²=2(a²+b²)/3
tanC/tanA+tanC/tanB
=tanC(cosA/sinA+cosB/sinB)
=tanC(cosAsinB+sinAcocB)/(sinAsinB)
=tanCsinC/(sinAsinB)
=sinCsinC/(sinAsinBcosC)
=c²/abcosC
=c²/ab*[(a²+b²)/6ab]
=6c²/(a²+b²)
=4
至于你要的简单解法，填空题可以取特殊值：
令a=1，b=1得cosC=1/3，
tanC/tanA+tanC/tanB=4