设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn-b1=S1•Sn，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）证明：对

Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*．设S_n为数列{b_n}的前n项和，已知b₁≠0，2b_n-b₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n•log₃a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）证明：对任意n∈N^*且n≥2，有(1)/(a2-b2)+(1)/(a3-b3)+…+(1)/(an-bn)<(3)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=3a_n，∴{a_n}是公比为3，首项a₁=1的等比数列，
∴通项公式为a_n=3^n-1．…（2分）
∵2b_n-b₁=S₁•S_n，∴当n=1时，2b₁-b₁=S₁•S₁，
∵S₁=b₁，b₁≠0，∴b₁=1． …（3分）
∴当n>1时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是公比为2，首项a₁=1的等比数列，
∴通项公式为b_n=2^n-1．…（5分）
（Ⅱ）c_n=b_n•log₃a_n=2^n-1log₃3^n-1=（n-1）2^n-1，…（6分）
T_n=0•2⁰+1•2¹+2•2²+…+（n-2）2^n-2+（n-1）2^n-1…①
2T_n=0•2¹+1•2²+2•2³+…+（n-2）2^n-1+（n-1）2ⁿ…②
①-②得：-T_n=0•2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）2ⁿ
=2ⁿ-2-（n-1）2ⁿ=-2-（n-2）2ⁿ
∴T_n=（n-2）2ⁿ+2．  …（10分）
（Ⅲ）(1)/(an-bn)=(1)/(3n-1-2n-1)=(1)/(3•3n-2-2n-1)=(1)/(3n-2+2(3n-2-2n-2))≤(1)/(3n-2)+(1)/(a2-b2)+(1)/(a3-b3)+…+(1)/(an-bn)
<(1)/(30)+(1)/(31)+…+(1)/(3n-2)=(1-((1)/(3))n-1)/(1-(1)/(3))
=(3)/(2)（1-(1)/(3n-1)）<(3)/(2)． …（14分）