在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值．

Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC₁⊥平面ABC，BC=CA=AC₁．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面AB₁C₁所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以BC∥B₁C₁．
又因为∠ACB=90°，所以AC⊥B₁C₁．…（3分）
因为AC₁⊥平面ABC，所以AC₁⊥AC．…（6分）
因为AC₁∩B₁C₁=C₁，所以AC⊥平面AB₁C₁．…（7分）
（Ⅱ） 因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC∥A₁C₁，
又由（Ⅰ）知，AC⊥平面AB₁C₁，所以A₁C₁⊥平面AB₁C₁．…（10分）
设A₁B交AB₁于点O，所以∠AOC₁为直线A₁B与平面AB₁C₁所成角．…（12分）
设BC=CA=AC₁=a，
直角三角形AC₁O中，OC1=(√(2))/(2)a，A1O=(√(6))/(2)a．…（14分）
因此，cos∠A1OC1=(√(3))/(3)，故直线A₁B与平面AB₁C₁所成角的余弦值为(√(3))/(3)．…（15分）