（2010•宁波模拟）如图三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1与底面成60．角，AQ⊥底面A1B1C1于Q，AP⊥侧面BCC1B1于P，且A1Q⊥B1C1，AB=AC，AQ=3，AP=2则顶点A到棱B1C1的距离是23212321．

Question

（2010•宁波模拟）如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱BB₁与底面成60．角，AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥侧面BCC₁B₁于P，且A₁Q⊥B₁C₁，AB=AC，AQ=3，AP=2则顶点A到棱B₁C₁的距离是

(2)/(3)√(21)

(2)/(3)√(21)

．

Answer 1

取B₁C₁的中点D，连接A₁D，PD
∵侧棱BB₁与底面成60°，A₁A∥BB₁
∴∠AA₁D=60°
而AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥侧面BCC₁B₁于P
∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60°
∴A、P、D、Q四点共圆
则AD为圆的直径
根据余弦定理可知PQ=√(7)
再根据正弦定理可知2R=(√(7))/((√(3))/(2))=(2√(21))/(3)
∵B₁C₁⊥面AQD，AD⊂面AQD
∴B₁C₁⊥AD
则AD为顶点A到棱B₁C₁的距离
∴顶点A到棱B₁C₁的距离为(2√(21))/(3)
故答案为：(2√(21))/(3)