如图所示，在光滑水平面上，有一坐标系xOy，其第一象限内充满着垂直平面坐标向里的磁场，磁感应强度B沿y方向不变，沿x方向的变化满足B=B0+kx（T），有一长ac=11cm，宽cd=12cm的矩形线框abcd

Question

如图所示，在光滑水平面上，有一坐标系xOy，其第一象限内充满着垂直平面坐标向里的磁场，磁感应强度B沿y方向不变，沿x方向的变化满足B=B₀+kx（T），有一长ac=11cm，宽cd=12cm的矩形线框abcd，其总电阻为R，初始时两边正好和xy轴重合．
（1）使线框绕ab轴以角速度ω匀速转动90°时线圈产生的感应电动势为多少？
（2）线框绕ab轴转动90°过程中，通过线圈的电量为多少？
（3）若使线圈以速度v沿x轴正方向匀速运动，需沿x轴方向加多大外力？

Answer 1

（1）线框绕ab轴以角速度ω匀速转动90°时cd边转动的线速度为 v_cd=l₁vω
线圈产生的感应电动势为 E=B₀l₂v_cd=B₀l₂l₁ω
（2）图示位置穿过线框的磁通量 Φ₁=(B0+B1)/(2)l₂l₁=(B0+B0+kl1)/(2)l₂l₁=（B0+(1)/(2)kl1）l₂l₁；
转动90°时磁通量为Φ₂=0
磁通量的变化量大小△Φ=|Φ₂-Φ₁|=（B0+(1)/(2)kl1）l₂l₁；
线框产生的感应电动势平均值

.

E

=(△Φ)/(△t)
感应电流平均值

.

I

=(.E)/(R)
通过线圈的电量 q=

.

I

△t
联立得：q=(△Φ)/(R)=((B0+(1)/(2)kl1)l1l2)/(R)
（3）若使线圈以速度v沿x轴正方向匀速运动，ab、cd边都会产生感应电动势，ab边所在的磁感应强度为B₁=B₀+kx，
则cd边所在的磁感应强度为：B₂=B₀+k（x+l₁），
故总的感应电动势为：E=（B₂-B₁）l₂v=kl₁l₂v
电路的电流为：I=(E)/(R)
ab边受到的安培力向右，大小为：F₁=B₁Il₂
cd边受到的安培力向左，大小为：F₂=B₂Il₂
线圈要匀速运动则有：F=F₂-F₁=((kl1l2)2v)/(R)
根据平衡条件可得沿x轴方向的外力 F_外=F=((kl1l2)2v)/(R)
答：
（1）使线框绕ab轴以角速度ω匀速转动90°时线圈产生的感应电动势为B₀l₂l₁ω．
（2）线框绕ab轴转动90°过程中，通过线圈的电量为((B0+(1)/(2)kl1)l1l2)/(R)．
（3）若使线圈以速度v沿x轴正方向匀速运动，需沿x轴方向所加外力大小为((kl1l2)2v)/(R)．