一道2006年的模拟数学压轴题如图,在平面直角坐标系中有矩形OABC,O是坐标系的原点,A在x轴上,C在y轴上,OA=6,OC=2.（1）分别写出A、B、C三点的坐标.2）已知直线l经过点P（0,-1/2）并把矩形OABC的面积

Question

一道2006年的模拟数学压轴题
如图,在平面直角坐标系中有矩形OABC,O是坐标系的原点,A在x轴上,C在y轴上,OA=6,OC=2.
（1）分别写出A、B、C三点的坐标.
2）已知直线l经过点P（0,-1/2）并把矩形OABC的面积平均分为两部分,求
直线l的函数表达式.
（3）设（2）的直线l与矩形的边OA、BC分别相交于M和N,以线段MN为折痕把四边形MABN翻折,使A、B两点分别落在坐标平面的A‘、B‘位置上.求点A‘的坐标及过A‘、B、C三点的抛物线的函数表达式.

Answer 1

(1)A(6,0),B(6,2),C(0,2)
(2):直线l把长方形的面积平均分为两部分,那么即为两个一样大小的梯形
设直线l为图像的函数为y=kx-1/2,则只有当直线过点（3,1）时,恰好将方形分为相等的两个部分.
把（3,1）代入得:k=1/2
所以,l的表达式为y=(1/2)x-(1/2)
(3):设坐标为(X,Y)
那么点((X+6)/2,Y/2)在y=(1/2)x-(1/2)上,且Y/(X-6)*1/2=-1
可以解出 X=4 Y=4,因为抛物线过B,C,所以抛物线对称轴X=3
设抛物线表达式为Y=a(X-3)^2+b
带入(4,4)和(0,2),得a= -1/4 b=17/4
所以抛物线为:Y=-1/4(X-3)^2+17/4