齐次线性方程组λx1+x2+λ2x3＝0x1+λx2+x3＝0x1+x2+λx3＝0的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，则（）A．λ=-2且|B|=0B．λ=-2且|B|≠0C．λ=1且|B|=0D．λ=1且|B|≠0

Question

齐次线性方程组

λx1+x2+λ2x3＝0

x1+λx2+x3＝0

x1+x2+λx3＝0

的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，则（　　）

A．λ=-2且|B|=0
B．λ=-2且|B|≠0
C．λ=1且|B|=0
D．λ=1且|B|≠0

Answer 1

法一：
∵AB=0，可知B的每一列均为Ax=0的解．
又由B≠0，则B存在非零列向量，
从而：Ax=0存在非零解，
故：|A|=0，
所以：
 

.

λ	1	λ2
1	λ	1
1	1	λ

.

＝0，
解得：λ=1，排除A，B，
而且有：
A=

1	1	1
1	1	1
1	1	1

，
由AB=0，可得：B^TA^T=0，
故方程组B^Tx=0存在非零解，
从而|B|=|B^T|=0
排除D，故选C．

法二：
∵AB=0，
∴r（A）+r（B）≤3，
又由 A≠0，B≠0，
则：r（A）≥1，r（B）≥1，
所以，1≤r（A）＜3，1≤r（B）＜3，
故|B|=0，排除B，D
对于选项A，当λ=-2时，
|A|=

.

−2	1	4
1	−2	1
1	1	−2

.

=9，此时r（A）=3，矛盾，排除A
而对于选项C，当λ=1时，A=

1	1	1
1	1	1
1	1	1

，r（A）=1，符合题意，
故选：C．