关于x1，x2，x3的齐次线性方程组λx1+x2+λ2x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+λx3=0的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，（O表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；|B|表示行

Question

关于x₁，x₂，x₃的齐次线性方程组

λx1+x2+λ2x3=0

x1+λx2+x3=0

x1+x2+λx3=0

的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，（O表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；|B|表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则…（　　）

A．λ=-2，且|B|=0
B．λ=-2，且|B|≠0
C．λ=1，且|B|=0
D．λ=1，且|B|≠0

Answer 1

方程组有非零解，于是系数行列式

.

λ	1	λ2
1	λ	1
1	1	λ

.

=0，
将该行列式展开可得到（λ-1）²=0，于是λ=1．
所以A=

1	1	1
1	1	1
1	1	1

，
设矩阵B=

b11	b12	b13
b21	b22	b23
b31	b32	b33

，由AB得到零矩阵，得知b₁₁+b₂₁+b₃₁=0，b₁₂+b₂₂+b₃₂=0，b₁₃+b₂₃+b₃₃=0．
由于只需考虑行列式B的值是否为0，即|B|=

.

b11	b12	b13
b21	b22	b23
b31	b32	b33

.

是否为零．
作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相反数时，|B|=0，B≠O（不妨选B=

0	1	-1
0	1	-1
0	1	-1

），于是D不对，只能选C．
故选C．