对任意正实数k,不等式k^2-4ak-8a>=0与8ak^2-4ak-a

Question

对任意正实数k,不等式k^2-4ak-8a>=0与8ak^2-4ak-a<=0至少有一个成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

⑴
对任意正实数k,不等式k^2-4ak-8a≥0成立,首先确定a≠0,（当a=0时,不等式恒＞0）
故△=16a²+32a=16a(a+2)≤0,
即-2≤a≤0；
综合得-2≤a＜0
⑵
对任意正实数k,8ak^2-4ak-a≤0成立,即a[8(k-1/4)^2-3/2]≤0,则
a≤0且[8(k-1/4)^2-3/2]≥0,或a≥0且[8(k-1/4)^2-3/2]≤0,
（注意函数y=8ak^2-4ak-a的△=16a²+32a²恒≥0,故这样做）
即当a≤0且k≥(1+√3)/4时,不等式成立；
当a≥0且0＜k≤(1+√3)/4时,不等式成立．
综合①②得,当0＜k≤(1+√3)/4时,实数a的取值（0,+∞）；
当k＞(1+√3)/4时,实数a的取值（-∞,0].