两个高三数学题，火速求解1，若多项式（1-2x+3x^2-4x^3+...+2001x^2000)(1+2x+3x^2+...+2001x^2000)=a0X^4000+a1X^3999+...+a3999x+a4000,则a1+a3+...a2015=?2,已知四面体ABCD中。角BAC=角BAD=角CAD=60，且AB=AC=6，AD=4，则该四

Question

两个高三数学题，火速求解
1，若多项式（1-2x+3x^2-4x^3+...+2001x^2000)(1+2x+3x^2+...+2001x^2000)=a0X^4000+a1X^3999+...+a3999x+a4000,则a1+a3+...a2015=? 2,已知四面体ABCD中。角BAC=角BAD=角CAD=60，且AB=AC=6，AD=4，则该四面体外接球的半径是？要求详细答案，急求答案，谢谢。

Answer 1

1，若多项式（1-2x+3x^2-4x^3+...+2001x^2000)(1+2x+3x^2+...+2001x^2000)=a0X^4000+a1X^3999+...+a3999x+a4000,则a1+a3+...a2015=?
设bn=nx^(n-1),{bn}的前n项和
S(x)=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1),①
xS(x)= x +2x^2+…+（n-1)x^(n-1)+nx^n,②
x≠1时
①-②，(1-x)S(x)=1+x+x^2+…+x^(n-1)-nx^n
=[1-x^n-nx^n+nx^(n+1)]/(1-x)
=[1-(1+n)x^n+nx^(n+1)]/(1-x),
∴S(x)=[1-(1+n)x^n+nx^(n+1)]/(1-x)^2,
n=2001时1+2x+3x^2+...+2001x^2000
=(1-2002x^2001+2001x^2002)/(1-x)^2,
以-x代x,得1-2x+3x^2-4x^3+...+2001x^2000
=(1+2002x^2001+2001x^2002)/(1+x)^2，
∴（1-2x+3x^2-4x^3+...+2001x^2000)(1+2x+3x^2+...+2001x^2000)
=(1+2002x^2001+2001x^2002)(1-2002x^2001+2001x^2002)/(1-x^2)^2
=[(1+2001x^2002)^2-(2002x^2001)^2]/(1-2x^2+x^4),
只有x的偶次方项，
∴a1+a3+...a2015=0.
2,已知四面体ABCD中。角BAC=角BAD=角CAD=60°，且AB=AC=6，AD=4，则该四面体外接球的半径是？
角BAC=60°，AB=AC=6，
∴BC=6.
角BAD=角CAD=60°,AD=4,由余弦定理，
BD^2=36+16-24=28，BD=2√7=CD.
设F是正三角形ABC的中心，延长AF交BC于E,连DE,则AE=3√3，AF=2√3，
DE=√(DC^2-CE^2)=√19，
cos∠DAE=(AD^2+AE^2-DE^2)/(2AD^AE)=(16+27-19)/(24√3)=1/√3，
由余弦定理，DF^2=12+16-2*2√3*4/√3=12，
∴DF=2√3，
∴F是球心，球半径=2√3.