如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a0，∠A=θ（其中a0，θ为常数），把边长依次为a1，a2，a3，…，a10的10个正方形依次放入Rt△ABC中，第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a₀，∠A=θ（其中a₀，θ为常数），把边长依次为a₁，a₂，a₃，…，a₁₀的10个正方形依次放入Rt△ABC中，第一个正方形CM₁P₁N₁的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M₁M₂P₂N₂的顶点分别放在Rt△AP₁M₁的各边上，…，其他正方形依次放入，则第10个正方形的边长a₁₀=___．（用a₀，θ表示）

Answer 1

如图，设AC=b，BC=a，
由题意得：P₁M₁=x₁，A，M₁=b-x₁；
∵P₁M₁∥BC，
∴△AP₁M₁∽△ABC，且BC=a，
∴(AM1)/(AC)=(P1M1)/(BC)，
解得：x₁=(ab)/(a+b)；
同理可求：x₂=(ab2)/((a+b)2)，x₃=(ab3)/((a+b)3)，…，x_n=(abn)/((a+b)n)，
∵∠C=90°，BC=a₀，∠A=θ，
∴tanθ=(a)/(b)，
∴a₁₀=(ab10)/((a+b)10)=a₀（(b)/(a+b)）¹⁰=a₀（(1)/((a)/(b)+1)）¹⁰=a₀（(1)/(1+tanθ)）¹⁰．