已知等比数列{an}中,an>0,S3=6,a7+a8+a9=24,则S99=

Question

已知等比数列{an}中,an>0,S3=6,a7+a8+a9=24,则S99=

Answer 1

因为 {an}是等比数列,所以 a7/a1=a8/a2=a9/a3=q^6.q是公比.
又因为 S3=a1+a2+a3=6,a7+a8+a9=24,所以
q^6=(a7+a8+a9)/(a1+a2+a3)=24/6=4.
又an>0,所以公比q>0,因此由q^6=4可知q^3=2 (1)
这样利用(a4+a5+a6)/(a1+a2+a3)=q^3,...,(a97+a98+a99)/(a1+a2+a3)=q^96 得到
S99
=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...+(a97+a98+a99)
=(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3)*q^3+...+(a1+a2+a3)*q^96
=(a1+a2+a3)(1+q^3+q^6+...+q^96) (括号中是对等比数列求和,利用q^3=2)
=6*(1+2+4+...+2^32)
=6*(2^33-1)
=3*2^34-6
即S99=3*2^34-6.