已知向量组A：a1=（1，1，1，1）T，a2=（1，-1，1，-1）T，a3=（1，3，1，3）T，a4=（1，-1，-1，1）T．（1）求向量组A：a1，a2，a3，a4的秩及其一个最大无关组；（2）将不属于最大无关组的向量用

Question

已知向量组A：a₁=（1，1，1，1）^T，a₂=（1，-1，1，-1）^T，a₃=（1，3，1，3）^T，a₄=（1，-1，-1，1）^T．
（1）求向量组A：a₁，a₂，a₃，a₄的秩及其一个最大无关组；
（2）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示．

Answer 1

（α₁，α₂，α₃，α₄）=

1	1	1	1
1	−1	3	−1
1	1	1	−1
1	−1	3	1

∽

1	1	1	1
0	−2	2	−2
0	0	0	−2
0	−2	2	0

∽

1	1	1	1
0	−2	2	−2
0	0	0	−2
0	0	0	2

∽

1	1	1	1
0	1	−1	1
0	0	0	1
0	0	0	0

∽

1	0	2	0
0	1	−1	1
0	0	0	1
0	0	0	0

∽

1	0	2	0
0	1	−1	0
0	0	0	1
0	0	0	0

（1）所以，R（α₁，α₂，α₃，α₄）=3，
故列向量组的最大无关组含3个向量．而三个非零行的非零首行在1，2，4三列，故α₁，α₂，α₃是列向量组的一个最大线性无关组．
（2）令（β₁，β₂，β₃，β₄）=

1	0	2	0
0	1	−1	0
0	0	0	1
0	0	0	0

，则可知k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0与k₁β₁+k₂β₂+k₃β₃+k₄β₄=0同解．
β3＝

2

−1

0

0

＝2

1

0

0

0

−1

0

1

0

0

＝2β1−β2，
所以，α₃=2α₁-α₂．