已知{an}是等差数列，满足a1=2，a4=14，数列{bn}满足b1=1，b4=6，且{an-bn}是等比数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若∀n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值．

Question

已知{a_n}是等差数列，满足a₁=2，a₄=14，数列{b_n}满足b₁=1，b₄=6，且{a_n-b_n}是等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若∀n∈N^*，都有b_n≤b_k成立，求正整数k的值．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则d=(a4-a1)/(3)=4，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2（n∈N^*）．
设c_n=a_n-b_n，则{c_n}为等比数列．
c₁=a₁-b₁=2-1=1，c₄=a₄-b₄=14-6=8，
设{c_n}的公比为q，则q3=(c4)/(c1)=8，故q=2．
则cn=2n-1，即an-bn=2n-1．
∴bn=4n-2-2n-1（n∈N^*）．
故{b_n}的通项公式为bn=4n-2-2n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）由题意，b_k应为数列{b_n}的最大项．
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2^n-1（n∈N^*）．
当n<3时，b_n+1-b_n>0，b_n<b_n+1，即b₁<b₂<b₃；
当n=3时，b_n+1-b_n=0，即b₃=b₄；
当n>3时，b_n+1-b_n<0，b_n>b_n+1，即b₄>b₅>b₆>…
综上所述，数列{b_n}中的最大项为b₃和b₄．
故存在k=3或4，使∀n∈N^*，都有b_n≤b_k成立．