已知函数f（x）=2+1x．数列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{an}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，73，177，…；当a=-12时，得到有穷数列-12，0．（1）求a的值

Question

已知函数f（x）=2+(1)/(x)．数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{a_n}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，(7)/(3)，(17)/(7)，…；当a=-(1)/(2)时，得到有穷数列-(1)/(2)，0．
（1）求a的值，使得a₃=0；
（2）设数列{b_n}满足b₁=-(1)/(2)，bn＝f(bn+1)(n∈N*)，求证：不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有(7)/(3)＜an＜3．

Answer 1

（1）∵a₁=a，an+1＝2+(1)/(an)，
∴a2＝2+(1)/(a1)＝(2a+1)/(a)，a3＝2+(1)/(a2)＝(5a+2)/(2a+1)．
要a₃=0，即要a＝−(2)/(5)．∴，a＝−(2)/(5)时，a₃=0．
（2）由题知b1＝−(1)/(2)，2+(1)/(bn+1)＝bn．不妨设a取b_n，
∴a2＝2+(1)/(bn)＝bn−1，a3＝2+(1)/(a2)＝2+(1)/(bn−1)＝bn−2，
…，
∴an＝2+(1)/(an−1)＝2+(1)/(b2)＝b1＝−(1)/(2)，
∴a_n+1=0，
∴不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n}．
（3）(7)/(3)＜an＜3⇔(7)/(3)＜2+(1)/(an−1)＜3⇔1＜an−1＜3．
∵((7)/(3)，3)⊊（1，3），∴只要有(7)/(3)＜a2＜3，就有(7)/(3)＜an＜3(n≥3)．
由

(2a+1)/(a)＞(7)/(3)

(2a+1)/(a)＜3

，解得：

0＜a＜3

a＜0或a＞1

，即1＜a＜3．
∴a的取值范围是（1，3）．