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在数列{an}中．a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．（1）求证：数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．
题目详情
在数列{an}中．a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．
（1）求证：数列{an-n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）求证：数列{an-n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
▼优质解答
答案和解析
（1）an+1=2an-n+1，
∴an+1-（n+1）=2（an-n），
∴
=2，
∵a1=2，
∴a1-1=2-1=1，
∴数列{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，；
（2）由（1）可得an-n=1•2n-1，
∴an=n+2n-1．
∴an+1-（n+1）=2（an-n），
∴
| an+1-(n+1) |
| an-n |
∵a1=2，
∴a1-1=2-1=1，
∴数列{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，；
（2）由（1）可得an-n=1•2n-1，
∴an=n+2n-1．
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