在数列{an}中．a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．（1）求证：数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

在数列{a_n}中．a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）a_n+1=2a_n-n+1，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
∴(an+1-(n+1))/(an-n)=2，
∵a₁=2，
∴a₁-1=2-1=1，
∴数列{a_n-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，；
（2）由（1）可得a_n-n=1•2^n-1，
∴a_n=n+2^n-1．