已知整数列{an}满足a3=-1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得am+am+1+am+2=amam+1am+2．

Question

已知整数列{a_n}满足a₃=-1，a₇=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

Answer 1

解（1）设数列前6项的公差为d，d为整数，则a₅=-1+2d，a₆=-1+3d，d为整数，
又a₅，a₆，a₇成等比数列，
所以（3d-1）²=4（2d-1），解得d=1，-------4分
当n≤4时，a_n=n-4，
由此a₅=1，a₆=2，数列第5项起构成以2为公比的等比数列．
当n≥5时，a_n=2^n-5，
故通项公式为an＝

n−4  ，    n≤4

2n−5，     n≥5

，-------------------------------------8分
（2）由（1）知数列{a_n}为：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即-3-2-1=-6=（-3）（-2）（-1）；等式成立．
当m=3时等式成立，即-1+0+1=0；等式成立．
当m=2、4时等式不成立；--------------------------------------------------12分
当m≥5时，即a_m+a_m+1+a_m+2=2^m-5（2³-1），a_ma_m+1a_m+2=2^3m-12．
所以a_m+a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2．；
故所求的m=1，或m=3------------------------------------------------------15分