设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=an+132an+2（n∈N*）．（Ⅰ）若a2=14，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥22对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通

Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2，a_n=an+1(3)/(2)a_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₂=(1)/(4)，求a₃，a₄，并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）；
（Ⅱ）记b_n=a₁a₂…a_n（n∈N^*），若b_n≥2√(2)对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故a3＝a1a2−(3)/(2)＝24，
a4＝a2a3−(3)/(2)＝2−8.
由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．
由题设知x₁=1且xn＝(3)/(2)xn+1+xn+2(n∈N*)；①
Sn＝x 1+x2++xn≥(3)/(2)(n≥2)．②
因②式对n=2成立，有(3)/(2)≤x1+x2，又x1＝1得x2≥(1)/(2)．③
下用反证法证明：x2≤(1)/(2)．假设x2＞(1)/(2)．
由①得xn+2+2xn+1＝(xn+2+(3)/(2)xn+1)+(1)/(2)(xn+1+2xn)．
因此数列|x_n+1+2x_n|是首项为x₂+2，公比为(1)/(2)的等比数列．
故xn+1−(1)/(2)xn＝(x2−(1)/(2))(1)/(2n−1)(n∈N*)．④
又由①知xn+2−(1)/(2)xx+1＝(xn−(3)/(2)xn+1)−(1)/(2)xn+1＝−2(xn+1−(1)/(2)xn)，
因此是|xn+1−(1)/(2)xn|是首项为(1)/(2n−1)，公比为-2的等比数列，
所以xn+1−(1)/(2)xn＝(x2−(1)/(2))(−2)n−1(n∈N*)．⑤
由④-⑤得(5)/(2)Sn＝(x2+2)(1)/(2n−1)−(x2−(1)/(2))(−2)n−1(n∈N*)．⑥
对n求和得(5)/(2)xn＝(x2+2)(2−(1)/(2n−1))−(x2−(1)/(2))(1−(−2)2)/(3)(n∈N*)．⑦
由题设知S2k+1≥(3)/(2)，且由反证假设x2＞(1)/(2)有(x2+2)(2−(1)/(22k))−(x2−(1)/(2))(22k+1+1)/(3)≥(15)/(4)(k∈N*)．
从而(x2−(1)/(2))•(22k+1+1)/(3)≤(x2+2)(2−(1)/(22k))−(15)/(4)＜2x2+(1)/(4)(k∈N*)．
即不等式2^2k+1＜(6x2+(3)/(4))/(x2−(1)/(2))−1
对k∈N^*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x₂≤(1)/(2)，结合③式知x₂=(1)/(2)，因此a₂=2^*2=√(2)．
将x₂=(1)/(2)代入⑦式得
S_n=2-(1)/(2n−1)（n∈N*），
所以b_n=2Sn=22−(1)/(2n−1)（n∈N*）