设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn-Sn+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明an+2=3an；（Ⅱ）求Sn．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=2，a_n+2=3S_n-S_n+1+3，n∈N^*，
（Ⅰ）证明a_n+2=3a_n；
（Ⅱ）求S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当n≥2时，由a_n+2=3S_n-S_n+1+3，
可得a_n+1=3S_n-1-S_n+3，
两式相减，得a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，
∴a_n+2=3a_n，
当n=1时，有a₃=3S₁-S₂+3=3×1-（1+2）+3=3，
∴a₃=3a₁，命题也成立，
综上所述：a_n+2=3a_n；
（Ⅱ） 由（I）可得

a2k-1=a1×3k-1=3k-1

a2k=a2×3k-1=2×3k-1

，其中k是任意正整数，
∴S_2k-1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-3+a_2k-2）+a_2k-1
=3+3²+…+3^k-1+3^k-1
=(3(1-3k-1))/(1-3)+3^k-1
=(5)/(2)×3^k-1-(3)/(2)，
S_2k=S_2k-1+a_2k=(5)/(2)×3^k-1-(3)/(2)+2×3^k-1=(3k+1)/(2)-(3)/(2)，
综上所述，S_n=

(5)/(2)×3(n-1)/(2)-(3)/(2)，	n为奇数
(3(n+2)/(2))/(2)-(3)/(2)，	n为偶数

．