设数列{an}的前n项和为Sn．若a2=12，Sn=kn2-1（n∈N*），则数列{1Sn}的前n项和为．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₂=12，S_n=kn²-1（n∈N^*），则数列{ (1)/(Sn)}的前n项和为___．

Answer 1

∵S_n=kn²-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=kn²-1-[k（n-1）²-1]=2nk-k，
∴a₂=4k-k=12，解得k=4．
∴S_n=4n²-1，
∴(1)/(Sn)=(1)/(4n2-1)=(1)/(2)((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))．
∴数列{(1)/(Sn)}的前n项和=(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+…+((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))]
=(1)/(2)(1-(1)/(2n+1))
=(n)/(2n+1)．
故答案为：(n)/(2n+1)．