已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=17．（1）若{an}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{bn}满足bn=3n•an，则当n为何值时，bn最大？请说明理由；（2）若{an}还同时满足：①{

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}为等差数列，且S₈=56．
①求该等差数列的公差d；
②设数列{b_n}满足b_n=3ⁿ•a_n，则当n为何值时，b_n最大？请说明理由；
（2）若{a_n}还同时满足：①{a_n}为等比数列；②a₂a₄=16；③对任意的正整数k，存在自然数m，使得S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，试求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）①由题意，得

2a1+4d＝17

8a1+28d＝56

，解得d=-1…（4分）
②由①知a1＝(21)/(2)，所以an＝(23)/(2)−n，则b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（(23)/(2)−n），…（6分）
因为b_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）…（8分）
所以b₁₁=b₁₀，且当n≤10时，数列{b_n}单调递增，当n≥11时，数列{b_n}单调递减，
故当n=10或n=11时，b_n最大…（10分）
（2）因为{a_n}是等比数列，则a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以

a1＝1

a5＝16

或

a1＝16

a5＝1

…（12分）
从而an＝2n−1或an＝(−2)n−1或an＝16×((1)/(2))n−1或an＝16×(−(1)/(2))n−1．
又因为S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，得2S_k=S_k+2+S_m，而公比q≠1，
所以2×(a1(1−qk))/(1−q)=(a1(1−qk+2))/(1−q)+(a1(1−qm))/(1−q)，即2=q²+q^m-k  （*）…（14分）
当an＝2n−1时，（*）式不成立；当an＝(−2)n−1时，解得m=k+1；
当an＝16×((1)/(2))n−1时，（*）式不成立；当an＝16×(−(1)/(2))n−1时，（*）式不成立．
综上所述，满足条件的是an＝(−2)n−1…（16分）