设函数f（x）=（x-3）的三次方+x-1,{an}是公差不为0的等差数列,f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）+f（a7）=14,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=?

Question

设函数f（x）=（x-3）的三次方+x-1,{an}是公差不为0的等差数列,f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）+f（a7）=14,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=?

Answer 1

析：∵{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+……+f()a7=14
∴[(a1-3)^3+a1-1]+ [(a2-3)^3+a2-1]+…+[(a7-3)^3+a7-1]=14
f(x)-2=(x-3)^3+(x-3)是关于（3,0）对称的,
f(A1)-2+f(A2)-2+.+f(A7)-2=14-2*7=0
所以A4=3
A1+A2+.+A7=7*A4=21
∵函数h(x)=x^3为奇函数,关于原点中心对称
∴h(x-3)= (x-3)^3,关于点(3,0)中心对称
∵{an}是公差不为0的等差数列
∴h(a1)+h(a2)+.+h(a7)=0
∴函数图像上的点(a1,h(a1)),(a2,h(a2)),…与(a7,h(a7)),(a6,h(a6)),…关于点(a4,h(a4))中心对称
又(a4,h(a4)=(3,0)
∴(a1-3)^3+[(a2-3)^3+…+[(a7-3)^3=0
∴[(a1-3)^3+a1-1]+ [(a2-3)^3+a2-1]+…+[(a7-3)^3+a7-1]=14
a1-1+a2-1+…+a7-1=14
a1+a2+…a7=7+14=21