1.已知函数y=f(x)是定义R上的周期函数,周期T=5函数y=f(x)（-1≤x≤1）是奇函数y=f(x)在[0.1]上的一次函数,在[1.4]上是二次函数,且在x=2时函数取得的最小值是-5(1)证明：f(1)+f(4)=0（2）y=f(x),x∈[1.4]的

Question

1.已知函数y=f(x)是定义R上的周期函数,周期T=5函数y=f(x)（-1≤x≤1）是奇函数y=f(x)在[0.1]上的一次函数,在[1.4]上是二次函数,且在x=2时函数取得的最小值是-5
(1)证明：f(1)+f(4)=0 （2）y=f(x),x∈[1.4]的解析式.
2.已知f(x)是实数集R上的函数,且对x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立,求证f(x)是周期函数 (2):已知f(3)=2,求f(2004)?（可不写此题第二问）
3.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x),求证f(x)是周期函数.

Answer 1

（1）
y=f(x)（-1≤x≤1）是奇函数
f（-1）=-f（1）
y=f(x)是定义R上的周期函数,周期T=5
f（-1）=f（4）
所以f（4）+f（1）=0
（2）
f(x)=f(x+1)+f(x-1)
f（x+1）=f（x+2）+f（x）
所以-f（x+2）=f（x-1）
同理 f（x+5）=-f（x+2）
所以f（x-1）=f（x+5）
T=6

第二小问
f(2004)=-f（3）=-2（这个没认真做,不一定对）

（3）
f(x+2)=-f(x)
-f(x+2)=f(x)
-f(x+2)=f(x+4)
f(x)=f(x+4)
周期为4