数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列{an}是等差数列．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=npa_n（n∈N^*）且a₁≠a₂，
（1）求常数p的值；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=pa₁，若p=1时，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，
∴a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1．则a₁=0．
当n=2时，a₁+a₂=2pa₂，∴（2p-1）a₂=0．
∵a₁≠a₂，故p=(1)/(2)．
（2）由已知S_n=(1)/(2)na_n，a₁=0．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(1)/(2)na_n-(1)/(2)（n-1）a_n-1．
∴(an)/(an−1)=(n−1)/(n−2)．则(an−1)/(an−2)=(n−2)/(n−3)，(a3)/(a2)=(2)/(1)．
∴(an)/(a2)=n-1．∴a_n=（n-1）a₂，a_n-a_n-1=a₂．
故{a_n}是以a₂为公差，以a₁为首项的等差数列．