设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n（n∈N*）．（1）求证：{Sn-3n}是等比数列；（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且首项a₁≠3，a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求证：{S_n-3ⁿ}是等比数列；
（2）若{a_n}为递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

证明：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
∵a₁≠3，
∴数列{S_n-3ⁿ}是公比为2，首项为a₁-3的等比数列；
（2）由（1）得S_n-3ⁿ=（a₁-3）×2^n-1，
∴S_n=（a₁-3）×2^n-1+3ⁿ，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∵{a_n}为递增数列，
∴n≥2时，（a₁-3）×2^n-1+2×3ⁿ>（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∴n≥2时，2n-2[12×((3)/(2))n-2+a1-3]>0，
∴a₁>-9，
∵a₂=a₁+3>a₁，
∴a₁的取值范围是a₁>-9．