已知齐次线性方程组(a1+b)x1+a2x2+a3x3+…+anxn＝0a1x1+(a2+b)x2+a3x3+…+anxn＝0a1x1+a2x2+(a3+b)x3+…+anxn＝0…a1x1+a2x2+a3x3+…+(an+b)xn＝0，其中ni＝1ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，（1）方程组

Question

已知齐次线性方程组

(a1+b)x1+a2x2+a3x3+…+anxn＝0

a1x1+(a2+b)x2+a3x3+…+anxn＝0

a1x1+a2x2+(a3+b)x3+…+anxn＝0

…

a1x1+a2x2+a3x3+…+(an+b)xn＝0

，其中

n

i＝1

ai≠0．试讨论a₁，a₂，…，a_n和b满足何种关系时，
（1）方程组仅有零解；
（2）方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

Answer 1

方程组的系数矩阵行列式：

.

A

.

=

.

a1+b a1 a1 ⋮	a2 a2+b a2   ⋮	a3 a3 a3+b     ⋮	… …  …   ⋮	an an  an    ⋮
a1	a2	a3	…	an+b

.

=bn−1(b+

n

i＝1

ai)，
（1）当b≠0时且b+

n

i＝1

ai≠0时，秩（A）=n，方程组仅有零解．
（2）
①当b=0 时，原方程组的同解方程组为：a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0．
由

n

i＝1

ai≠0可知，a_i（i=1，2，…，n）不全为零，
不妨设：a₁≠0，
得原方程组的一个基础解系为：
α1＝(−(a2)/(a1)，1，0，…，0)T，α2＝(−(a3)/(a1)，0，1，…，0)T，…，αn＝(−(an)/(a1)，0，0，…，1)T，
②当b＝−

n

i＝1

ai时，
有b≠0，
原方程组的系数矩阵可化（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以−(1)/(ni＝1ai)倍）：

a1− n i＝1      −1 ai      −1        ⋮	a2  1   0    ⋮	a3 0  1   ⋮	… …  …	an  0   0   ⋮
−1	0	0	…	1

将第n行−an倍到第2行的−a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行

−1 −1 ⋮ −1	1 0 ⋮  0	0 1 ⋮  0	… … …	0 0 ⋮  1
0	0	0	…	0

，
得原方程组的同解方程组为：x₂=x₁，x₃=x₁，…，x_n=x₁，
从而：原方程组的一个基础解系为：α=（1，1，…，1）^T．