已知函数f（x）=3x2-2mx-1（1）求证：一定存在x0∈（-1，2），使得f（x0）≥0（2）若对一切m∈（-1，2）恒有f（x）>0，试求实数x的取值范围．

Question

已知函数f（x）=3x²-2mx-1
（1）求证：一定存在x₀∈（-1，2），使得f（x₀）≥0
（2）若对一切m∈（-1，2）恒有f（x）>0，试求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，
根据二次函数f（x）=3x²-2mx-1恒过定点（0，-1）且开口向上，
∴f（-1）>0或f（2）>0，即2m+2>0或-4m+11>0，解得m∈R．  
∴对于任意实数m，一定存在x₀∈（-1，2），使得f（x₀）≥0；
（2） 令g（m）=-2xm+3x²-1，
∵对一切m∈（-1，2）恒有f（x）>0，即恒有g（m）>0．
∴

g(-1)=2x+3x2-1≥0

g(2)=-4x+3x2-1≥0

，解得：x≤-1或x≥(2+√(7))/(3)．
∴实数x的取值范围是（-∞，-1]∪[(2+√(7))/(3)，+∞）．