计算曲线积分Y=∮(xdy-ydx)/(4x^2+y^2)其中曲线L为椭圆4x^2+y^2=4取逆时针方向。急求解答步骤！

Question

计算曲线积分Y=∮(xdy-ydx)/(4x^2+y^2) 其中曲线L为椭圆4x^2+y^2=4 取逆时针方向。急求解答步骤！

Answer 1

答： 用格林公式。 ∫ Pdx+Qdy，即P=-y/(4x^2+y^2)，Q=x/(4x^2+y^2)。 有σP/σy=(-4x^2-y^2+2y^2)/(4x^2+y^2)^2=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2； σQ/σx=(4x^2+y^2-8x^2)/(4x^2+y^2)=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2 得σP/σy=σQ/σx，即积分结果与路径无关。 又曲线不过原点，令x=cosθ，y=2sinθ，其中θ从0到2π。 得∫(0到2π) [2(cosθ)^2+2(sinθ)^2]/4[(cosθ)^2+(sinθ)^2] dθ =∫(0到2π) 1/2 dθ =π