a1=(1,2,0)T,a2=(1,a+2,-3a)T,a3=（-1,-b-2,a+2b）T,β=（1,3,-3）T,试讨论当a,b为何值时β可由a1,a2,a3唯一线性表示,并求出表示式β不能由a1,a2,a3线性表示?β可由a1,a2,a3线性表示,但是表示不唯一?并求出一般

Question

a1=(1,2,0)T, a2=(1,a+2,-3a)T, a3=（-1,-b-2,a+2b）T,β=（1,3,-3）T,试讨论当a,b为何值时β可由a1,a2,a3唯一线性表示,并求出表示式β不能由a1,a2,a3线性表示?β可由a1,a2,a3线性表示,但是表示不唯一?并求出一般表示.

Answer 1

解: 问题即线性方程组 (a1,a2,a3)X=β 解的存在性.
(a1,a2,a3,β) =
1 1 -1 1
2 a+2 -b-2 3
0 -3a a+2b -3
r2-2r1
1 1 -1 1
0 a -b 1
0 -3a a+2b -3
r3+3r2
1 1 -1 1
0 a -b 1
0 0 a-b 0
当a≠0且a≠b时, β可由a1,a2,a3唯一线性表示
当a=0时
(a1,a2,a3,β)-->
1 1 -1 1
0 0 -b 1
0 0 -b 0
r3-r2
1 1 -1 1
0 0 -b 1
0 0 0 -1
此时方程组无解, 故β不能由a1,a2,a3线性表示.
当a=b≠0时
(a1,a2,a3,β)-->
1 1 -1 1
0 a -a 1
0 0 0 0
r2*(1/a),r1-r2
1 0 0 1-1/a
0 1 -1 1/a
0 0 0 0
此时β可由a1,a2,a3线性表示,但是表示不唯一
一般表示: β=(1-1/a)a1+(k+1/a)a2+ka3.