如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P-ADE的体积．

Question

如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；
（Ⅲ）求三棱锥P-ADE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，∵点F为PA的中点，
∴FG∥PD且FG=(1)/(2)PD．
∵BE∥PD，且BE=(1)/(2)PD，
∴BE∥FG，BE=FG，
∴四边形BGFE为平行四边形．
∴EF∥BG，又∵EF⊄平面ABCD，BG⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BD．
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．
∵G为AD中点，∴BG⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，
∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴BG⊥平面PAD．
∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，
∴EF⊥平面PAD，又∵EF⊂平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAD．
（Ⅲ）∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=√(3)．
∵S△PAD=(1)/(2)PD•AD=2．EF=BG=√(3)，∴V_棱锥P-ADE=V_棱锥E-ADP=(1)/(3)S_△PAD•EF=(2√(3))/(3)．